Формулы Логарифмов Шпаргалка
Логарифмические формулы. Свойства логарифмов. Эффективная подготовка к экзамену ЕГЭ по математике. Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз.
. Основные свойства логарифмов, формулы Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения. Свойство логарифма единицы: log a1=0 для любого a0, a≠1. Логарифм числа, равного основанию: log aa=1 при a0, a≠1. Свойство логарифма степени основания: log aa p=p, где a0, a≠1 и p – любое. Логарифм произведения двух положительных чисел: log a(xy)=log ax+log ay, a0, a≠1, x0, y0, и свойство логарифма произведения n положительных чисел: log a(x 1x 2x n)= log ax 1+log ax 2log ax n, a0, a≠1, x 10, x 20, x n0.
Свойство логарифма частного:, где a0, a≠1, x0, y0. Логарифм степени числа: log ab p=plog a b , где a0, a≠1, b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p0. Следствие 1:, a0, a≠1, b0, b≠1. Следствие 2:, a0, a≠1, b0, p и q – действительные числа, q≠0, в частности при b=a имеем.
Свойство сравнения логарифмов с одинаковыми основаниями: для любых положительных чисел b 1 и b 2, b 1log ab 2, а при a1 – неравенство log ab 11, a 21 и a 11 справедливо log a 1blog a 2b;. если 01 (при этом a 1log a 2b, а при b1 справедливо log a 1b1 справедливо log a 1blog a 2b. Формулировки и доказательства свойств Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе и вытекающего из него, а также. Начнем со свойства логарифма единицы.
Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a1=0 для любого a0, a≠1. Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0=1 для любого a, удовлетворяющего указанным выше условиям a0 и a≠1, то доказываемое равенство log a1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 31=0, lg1=0. Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, log aa=1 при a0, a≠1. Действительно, так как a 1=a для любого a, то по определению логарифма log aa=1. Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 55=1, log 5,65,6 и lne=1. Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида log aa p=p, где a0, a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма.
Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье. К примеру, log 22 7=7, lg10 -4=-4. Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a(xy)=log ax+log ay, a0, a≠1. Докажем свойство логарифма произведения.
В силу свойств степени a log ax+log ay=a log axa log ay, а так как по основному логарифмическому тождеству a log ax=x и a log ay=y, то a log axa log ay=xy. Таким образом, a log ax+log ay=xy, откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство. Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5(23)=log 52+log 53. Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1, x 2, x n как log a(x 1x 2x n)= log ax 1+log ax 2log ax n. Данное равенство без проблем доказывается.
Логарифмические Тождества
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e,. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел.
Свойству логарифма частного соответствует формула вида, где a0, a≠1, x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как, то по определению логарифма.
Приведем пример использования этого свойства логарифма:. Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log ab p=plog a b , где a0, a≠1, b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p0. Сначала докажем это свойство для положительных b. Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log ab, тогда b p=(a log ab) p, а полученное выражение в силу свойство степени равно a plog ab. Так мы приходим к равенству b p=a plog ab, из которого по определению логарифма заключаем, что log ab p=plog ab.
Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Здесь замечаем, что выражение log ab p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p= b p. Тогда b p= b p=(a log a b ) p=a plog a b , откуда log ab p=plog a b.
Например, и ln(-3) 4=4ln -3 =4ln3. Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n-ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, где a0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b0. Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени:. Вот пример использования этого свойства:. Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида. Для этого достаточно доказать справедливость равенства log cb=log ablog ca.
Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log ab, тогда log cb=log ca log ab. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log ca log ab=log ablog ca. Так доказано равенство log cb=log ablog ca, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма. Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов:.
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями. Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида. Отсюда видно, что log ab и log ba –. Также часто используется формула, которая удобна при нахождении значений логарифмов.
Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида. Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a:. Осталось доказать свойства сравнения логарифмов. Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2, b 1log ab 2, а при a1 – неравенство log ab 11, a 21 и a 11 справедливо log a 1blog a 2b. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.
Логарифмы Формулы Шпаргалка
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 11, a 21 и a 11 справедливо log a 1b≤log a 2b. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log ba 1≤log ba 2 и log ba 1≥log ba 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log ba 1≥b log ba 2 и b log ba 1≥b log ba 2, то есть, a 1≥a 2. Так мы пришли к противоречию условию a 1.